Hijo de un francés de apellido Coste, estudió en el Colegio de la Ciudad.  En 1814 fue alcalde de barrio del Cabildo porteño y se enroló en las milicias.  Más tarde se afilió a la Logia Directorial, en el gobierno de Martín Pueyrredón. Se casó con una sobrina de Pueyrredón y fue regidor del Cabildo en 1819.

Su actividad central era la comercial: hizo negocios de todo tipo, especialmente de importación. Fue representante de varias casas de comercio británicas y llegó a tener una de las fortunas más grandes de su época. Compró una gran estancia en la provincia de Entre Ríos y algunas otras en San Nicolás.  De a poco se fue independizando y a comerciar en su propio nombre, aunque sus principales vínculos siempre fueron con Gran Bretaña. Se destacaba por su elegancia, de corte netamente inglés.

En 1824, junto a Manuel Antonio Castro,Manuel Arroyo y José María Roxas y Patrón, fue uno de los fundadores del Banco de Descuentos de la Provincia de Buenos Aires, que terminaría en manos de los comerciantes ingleses, y que sería el centro de algunos de los peores negociados de la época de Bernardino Rivadavia. Fue también uno de los más destacados negociadores del empréstito Baring  Brothers  junto a Félix Castro, Miguel Riglos, Juan Pablo Sáenz Valiente y los hermanos Parish Robertson.

Según el historiador inglés David Rock (Argentina 1516-1987) “en Buenos Aires los especuladores presionaron para que los beneficios del préstamo Baring se repartieran y convertir la deuda interna en deuda externa, con la conversión al valor nominal de los títulos que había reunido.” El Banco financiaba las importaciones de Gran Bretaña. “Para 1904, cuando se terminó de pagar el crédito, la Argentina había abonado a la Baring Brothers la suma de 23.734.766 pesos fuertes.” (Felipe Pigna).

Alrededor de 1818, en la época dominio de los Brizuela y Doria en La Rioja, había comenzado a tener negocios en esa provincia, dedicados a la exploración y explotación de minerales en el. Por entonces se vincula con Facundo Quiroga.

Como relatamos en la Cronología, en1825 fue nombrado por Facundo Quiroga presidente del Banco de La Rioja, que aún era un proyecto. La legislatura riojana adjudicó la explotación de las minas del Famatina al Banco proyectado, y le dio la exclusividad del derecho a acuñar moneda con los metales extraídos. Para la explotación, se organizó la "Famatina Mining Company", con capitales de socios británicos, traídos por Braulio Costa. Pero, simultáneamente, el ex ministro porteño Rivadavia organizó la "Río de la Plata Mining Association", con los mismos derechos.

               Como se puede leer en la cronología histórica, el conflicto estalló a partir del Congreso General de 1824 y con la elección de Rivadavia como presidente. El Congreso, a iniciativa del presidente otorgó la exclusividad de la acuñación de moneda en el país a la River Plate Mining.

El conflicto entre Rivadavia y Quiroga por los metales de Famatina llevó a la primera guerraentre unitarios y federales en el linterior, particularmente con la sanción de la Constitución centralista de 1826 que entre otras cosas, otorgaba la potestad de elegir los gobernadores de las provincias al presidente. (Ver cronología) .

La crisis de la Famatina lo había alejado de los unitarios con lo cual terminó por ser aliado de los federales; colaboró con el gobierno de Manuel Dorrego y el primero de Juan Manuel de Rosas. Alojó a Facundo Quiroga en su casa en los años  que vivió en Buenos Aires. En ese tiempo Facundo Quiroga adquirió tierras en Buenos Aires (donde hoy es San Pedro). En el juicio sucesorio de Quiroga se detallan las tierras adquiridas por Quiroga que vivía en casa de Braulio Costa.

Braulio Costa fue arrestado en 1834  por una estafa en una operación de préstamo pactada con el ministro Manuel José García. Pero huyó cuando lo llevaban a la cárcel, y se exilió en Montevideo. Allí pactó acuerdos con el presidente Fructuoso Rivera, pretendiendo enfrentar a Quiroga contra Rosas. La muerte de Quiroga hizo fracasar sus planes. En 1838 acusó a Rosas de haber promovido el asesinato de Quiroga en la prensa de Montevideo en el periódico de los hermanos Varela, enemigos de Rosas.

Durante su larga estadía en Montevideo siguió vinculado a los negocios  con Gran Bretaña por lo menos hasta 1845, en que este país se unió a la alianza contra Rosas por medio del bloqueo anglo-francés en el Río de la Plata.

Braulio Costa regresó a Buenos Aires después de la batalla de Caseros y recuperó sus estancias, de las que vendió enseguida la ubicada en Entre Ríos. Se dedicó a administrar la estancia “Dos Hermanas”, ubicada entre Rosario y San Nicolás, y entregó a sus hijos la estancia en que éstos fundaron la ciudad de Campana. Falleció en Buenos Aires en 1855.